Yandex maps и Google maps - это совершенно разные продукты, использующие разные подходы к разработке и формированию API. Так что, отвечая на изначальный вопрос - нет, магической кнопки, позволяющей переключится на яндекс карты к сожалению не существует.
Варианты развития событий для Вас.
1. Попытаться получить API ключ гуглокарт, через иностранную карту, и пользоваться спокойно тем же движком
2. Перейти на другой инструментарий, поддерживающий интеграцию с яндекс картами "из коробки"
3. Попытаться связаться с разработчиками текущего инструментария, с вопросом о возможности интеграции яндекс карт. Учитывая, что яндекс переводчик у них уже доступен для интеграции
4. Разработать кусок для интеграции самому/отдать во фриланс. Не знаю политику этого инструментария (движка), но если он предоставляет Вам открытый код, то можно в него залезть и модифицировать поведение. Если открытого кода нет, то можно будет "костылями", делать переход на отдельную, "исключительно вашу" страницу, на которой и будет интеграция с яндекс картами.

Внизу страницы документации, которую Вы скинули, есть параметр
onBehalfOfGroup
Чтобы писать от имени группы он должен быть true

Зависит от того, что вы храните в индексе, и какой результат в итоге хотите получить.
Какие могут быть кейсы:
1. В индексе хранится много чего: кошки, собаки, попугаи и т.д.
Решение: заводите новое поле, например 'pet_type'. Устанавливайте в него значение, например: 'собака'. Далее, создаёте статический фильтр синонимов в индексе, называете его, например 'pet_analyzer' и прописываете список необходимых синонимов. В результате должно получиться, что-то типа такого:

PUT /pets_index
{
  "settings": {
    "analysis": {
      "filter": {
        "pet_synonyms": {
          "type": "synonym",
          "synonyms": [
            "собака, щенок, кобель => dog",
            "кошка, кот, котёнок => cat",
            "попугай, попугайчик => parrot"
          ]
        }
      },
      "analyzer": {
        "pet_analyzer": {
          "type": "custom",
          "tokenizer": "standard",
          "filter": ["lowercase", "pet_synonyms"]
        }
      }
    }
  },
  "mappings": {
    "properties": {
      "pet_type": {
        "type": "text",
        "analyzer": "pet_analyzer"
      }
    }
  }
}

2. В индексе хранятся только собаки, либо вам нужно распределение (щенки/взрослые собаки/распределение по полу)
В таком случае, добавляете эту характеристику прямо в name. То есть документ у вас будет называться: 'Щенок лабрадора'. Далее, смотрите на типы формирования входящих запросов. Вам могут подойти:

• Match phrase prefix. Поиск по части фразы. Ссылка на документацию: https://www.elastic.co/guide/en/elasticsearch/refe...
  
• Поиск с оператором OR. Когда в запросе содержащем несколько слов, совпадает хотябы одно. Ссылка на документацию: https://opster.com/guides/elasticsearch/search-api...
  
• Поиск по неточному совпадению. Найдёт и 'щенок' и 'щинок' и даже 'чухуахуа', зависит от того, какой уровень неточности вы настроете. https://www.elastic.co/guide/en/elasticsearch/refe...