Можно ли использовать в качестве плагина wordpress приложение Angular?

Просто при создании плагина подключай js файлы через специальную функцию wp

Как в Wordpress работать с куками?

Анатолий, да, до этого условия

Проверка на заполненное поле?

Нужно слушать событие отправки и тогда обрабатывать, например, так