DaMneD_SoUL

Код с минимальныи изменениями для решения твоей проблемы

string word = search_txbx.Text.;               
                ObservableCollection<Model.Game> games = _ViewModel.Games;
                var query = from db in games
                            where db.name.Contains(word, StringComparer.InvariantCultureIgnoreCase)
                            select db;
                games_dgrd.ItemsSource = query;

Советую ознакомится с другими способами сравнения строк
Мне кажется допущена ошибка логиги нужно присваивать ItemsSource к ObservableCollection games(зарание созданном посредвом Linq) а не к IEnumerable получаемом в результате Linq операций