Твои пункты меню будут в template.php в массиве $arResult["ITEMS"]. Делай цикл по этому массиву. Найди в верстке меню повторяющийся участок кода, который отвечает за один пункт меню, и вставь этот участок в тело цикла.
В твоем примере такой участок
<li><a href="">Название пункта меню</a></li>
и, если есть подпункты, то
<li><a href="" class="down">Blog</a>
<ul class="submenu">
<li><a href="">Category</a></li>
</ul>
</li>
Поскольку у меню могут быть подпункты, то внутри цикла нужно поставить условие, которое будет проверять, является ли твой пункт меню (в данном случае первого уровня) родительским. Если истина, то добавляй в тело цикла код второго уровня.
Тут есть нюансы с тегами ul, которые отвечают за второй уровень меню, их долго описывать. Советую скопировать типовой шаблон меню с названием horizontalmenu, посмотреть, как он устроен, и вставить туда свои теги, либо второй вариант скопировать horizontalmenu и довести его верстку, чтобы было похоже на то, что у тебя в твоем шаблоне.