CityCat4

Как повлиять на провайдера?

Никак.

А если это такая туша, как РТК - дважды никак. Только отказ от него и возврат на старого провайдера (если это возможно). РТК - это одна из тех тушек, которой все, вот совершенно все - пофигу. Ну нет у Вас столько денег на юристов :)
(Другими такими тушками являются Сбербанк и Почта России)

Изменения в DNS вносятся отнюдь не мгновенно - вообще говоря кэш может содержать старые данные до двух суток. Обычно три-четыре часа уходить на применение изменений.

С тем, что по wifi не бывает стабильной связи.

ping vk.com, mail.ru - свободно, есть обмен пакетами

Что полезного даст юзеру пинг ВКонтактика? Да ровно ничего :) Проверка не имеет смысла.

файл hosts на локальной машине чистый

В корпоративном окружении при заблокированных настройках адаптера не имеет смысла - нет прав админа, файл hosts не исправляется.

в браузере страницы не открываются.

Настройки прокси открываются? Прокси установлено?

Если настроено прокси, если в нем есть списки ограничений - то в зависимости от этих списков и параноий тех, кто их ведет и ими управляет - либо плагин с VPN наружу, либо никак :)