CityCat4

OTRS, кьоторый выше рекомендовали - это трекер техподдержки. а Вам надо трекер разработчика - redmine, bugzilla, mantis. Это все OpenSource, но для установки их требуется бубен разного размера - redmine написан на Ruby, Bugzilla - на Perl::Template. Интерфейс у всех страшненький, особенно у багзиллы, у redmine чуть получше.

В небольших конторах обычно админы и саппорт - одно подразделение и зачастую даже и не делятся, так что вопрос видимо про конторы достаточно крупные, где админы - один отдел, саппорт - другой. Поэтому админов вообще не должно волновать что творится в соседнем отделе. И обычно и не волнует, пока тикет не эскалируют кому-нибудь из админов.
Руководителем саппорта? Проверил бы, что все на самом деле работает и заявок нет не потому что люди не желают их писать, а потому что писать не о чем :-)