Chnfumm

Если DEBUG = True нужно добавить urlы медиа в urls.py:

from django.conf import settings

urlpatterns = patterns('',
    # Твои эндпоинты
) + static(settings.MEDIA_URL, document_root=settings.MEDIA_ROOT)

А если DEBUG = False то нужно настраивать какой нибудь NGINX который будет ходить в твою папку и отдавать файлы)

Проще всего будет для фронта организовать аутентификацию по токену(`rest_framework.authentication.TokenAuthentication`):
1. Делаешь вьюху которая по правильному username + password создает токен и отдает в ответе
2. Помещаешь токен на фронте в куки
3. С каждым запросом достаешь токен из куки и отдаешь в заголовке вида: `Authorization: Token YOUR_TOKEN`

Если локально доступ есть, а на хосте нет, то скорее всего одна из причин:
1. Отсутствует соединение с интернетом
2. Неправильно настроен фаерволл(outbound)
3. Неправильно настроен DNS