Проблема была в том, что каталог не находился в каталоге, определенном в настройках общего доступа к файлам Docker.
https://docs.docker.com/get-started/06_bind_mounts/
Ошибка в том, что я размещал проект по адресу /var/www/my_project (поскольку работаю на linux), тогда как этот каталог не находится в месте определенном в настройках общего доступа к файлам Docker. Я переместил проект по адресу /home/my_user/ и все получилось! Теперь я могу без проблем вести разработку не переподнимая свои контейнеры!
Спасибо всем за ответы!