BoShurik

Вариант с рекурсией (все-таки отмеченное решение уже на 50 элементах заметно тормозит)

$array = array_fill(0, 50, 1);
$sum = 20;

function elements($array, $sum, &$result = [], $iteration = [])
{
    // Если нужны все перестановки, то нужно закомментировать условие
    if (!empty($result)) {
        return;
    }
    if ($sum === 0) {
        $result[] = $iteration;

        return;
    }

    foreach ($array as $index => $value) {
        if ($sum - $value < 0) {
            continue;
        }

        $next = $array;
        unset($next[$index]);

        elements($next, $sum - $value, $result, array_merge($iteration, [$index]));
    }

    return;
}

elements($array, $sum, $result);

// Если вытащены все возможные перестановки, то разкомментировать
// Отсортируем, чтоб убрать повторяющиеся элементы
//foreach ($result as &$item) {
//    sort($item);
//}
//unset($item);
//$result = array_unique($result, SORT_REGULAR);

foreach ($result as $item) {
    echo 'Индексы элементов массива, составляющих сумму: ' . implode(' ', $item) . \PHP_EOL;
}