Добрый день, ну companies содержит в себе label или title, или любое другое поле, если на ввод реагировать, нужен обработчик, то есть в BaseSelect должен быть еще input который будет делать emit наружу и там уже работать с содержимым, я сейчас смотрю @input сейчас конкретно работает по выбору из списка, вам нужно поменять наверное @input на @select, если это свой select, кастомный, значит нужно сделать кастомный emit @select и по нему присваивать выбранную компанию в form.company_id, а @input мог бы emit делать на поле ввода и обрабатывать value из него и получилось бы получать строку и уже по строку фильтровать массив и возвращать нужные компании, но боюсь что объяснил не совсем так, чтобы вы поняли, лучше найти готовый Select с поиском или если нужно использовать именно этот селект, нужно дорабатывать его, сейчас он очень сыро выглядит, то есть у него в идеале должен быть v-model, а не старый :value + @input target