Константин

1) С разными. Помимо прописывания DNS, надо будет узнать, что такое SPF и DKIM, ну и настроить их, соответственно.
2) Веб-интерфейс существует, но он не входит в Postfix. Например, Roundcube. Чтобы не заморачиваться, можно поставить бесплатный почтовый сервис типа iRedMail, основанный на том же Postfix, туда уже входит несколько разных оболочек для веб-почты, включая Roundcube. Установка элементарная, но только на чистую систему.
3) Вероятность того, что спамеры заинтересуется, чуть менее, чем 100%-ая, так что придётся поразбираться в конфигах почтовика для настройки антиспама.
4) В том же iRedMail есть встроенный антиспам, но правильная настройка конфигов самого Postfix-а уже отобьёт львиную долю спама с кривыми отправителями, которые не проходят минимальные проверки.

А hostname, указанный в настройках почтовика и от имени которого отправляется почта, корректный и существующий? У этого получателя (думаю, не только у него) стоят проверки, которое ваше письмо не проходит.
Протестируйтесь на www.mail-tester.com и появится ясность, где трабл и что надо подкрутить.

Банальный вопрос: а место свободное или дисковые квоты не исчерпались у данного юзера и/или у сервера вообще (в том разделе, на котором /var/mail)?