B00mZ00m

Дочерний эмитит событие: this.$emit('paginate',page);
но родительский его не слушает и не обрабатывает.

См. https://vuejs.org/guide/components/events.html

В родительском надо что-то типа:

- <BasePagination v-model="page" :count="countProducts"  :car="car"></BasePagination>
+ <BasePagination @paginate="paginate" :count="countProducts"  :car="car"></BasePagination>

и добавить метод обработчик сего:

methods: {
  paginate(page) {
    this.page = page;
  },
},

Не работает потому, что работать нечему - вы не используете v-model. Документацию, судя по показанной чуши, вы вообще не читали (максимум, одним глазом глянули её пересказ каким-нибудь дегенератом на youtube'е). Это зря. Документацию читать надо. Вот прямо сейчас откройте и почитайте. Ну а пока читаете, исправим ваш говнокод.

В родительском компоненте заменить model="global" на v-model="global".

В дочернем, добавить:

model: {
  prop: 'model',
},
computed: {
  checked() {
    return this.model === this.value;
  },
},

а шаблон пусть будет такой:

<label :class="{ labelActive: checked }">
  <input type="radio" :checked="checked" @input="$emit('input', value)">
  {{ value }}
</label>