Asjacker

Делайте запрос в базу, делайте basename и проверяйте есть ли картинка с таким уже именем или нет
Или не морочьте себе голову, создавайте хэш из логина и времени и шанс того, что тартинка с таким именем уже будет = 0
Ибо вы перед регистрацией проверяете занятость логина
$hash = md5($login. time())

P.S
MD5 взят для примера

Возможно проще будет генерировать файл с логом "на лету" прямо из скрипта и сразу отдавать на скачивание
Так вы получите больше контроля в плане безопасности, так как можно проверить предварительно авторизацию и тд и не надо париться с хранением, удалением кучи файлов

<?php
header("Content-type: text/plain");
header("Content-Disposition: attachment; filename=history.txt");

//делаем запрос к БД на получение данных
//выводим нужные данные через echo

Если всё же хотите создавать файлы и писать в них данные то используйте file_put_contents() куда передаёте данные и имя файла для сохранения
https://www.php.net/manual/ru/function.file-put-co...