В параметрах метода register указан
только self, который служит для обращения к полям/методам класса-родителя.
async def register(self):
При этом вы, при вызове этого метода, передаете в него параметр user, что недопустимо:
reg = await basa.register.main.register(user)
Именно поэтому и появляется ошибка:
TypeError: register() принимает 1 позиционный аргумент, но было задано 2
Чтобы это исправить нужно переписать метод так, чтобы он мог принимать соответствующий параметр и мог работать с ним.
