Как сделать такую подсветку инпута?

Если придираться, то тут не бордер, а тень.
box-shadow: 0 3px 0 #000

Как переделать center mode в slick.js?

Можно сделать белый блок слайдом и маржины между ними нужного размера, чтобы соседние слайды "торчали" по бокам контейнера

Как переделать center mode в slick.js?

Чем тебя не устраивает стандартное поведение слайдера? По умолчанию centerPadding: "40px", то есть соседние блоки видно в контейнере слайдера по 40 пикселей слева и справа.

Как удалить точки навигации Owl Carousel?

если несколько слайдеров, один с точками, другой без