Вы хотя бы напишите ошибку, которая появляется при попытке отправить форму через ajax.
А вообще для начала стоит проверить работоспособность вашего кода напрямую, без ajax. Только надо добавить к форме action и кнопку сделать type="submit"
Если у вас ошибка в php, то так вы ее сразу увидите. А когда будет протестирован и отлажен php, можно будет сделать выполнение через ajax
