VelAnna

Для этого нужно чтобы ваша форма отправлялась через ajax. Если не в курсе как это делается, то в гугле полно статей, первая попавшаяся.

Вам надо в той части кода, где происходит обработка удачного результата, вставить свой код для обновления содержимого элемента, например:

...
success: function(data) {
    $('#user').html('Мой кабинет');
}
...

По поводу плагинов сказать ничего не могу, но каме описан принцип работы счетчика посещений. Возможно что-то придется допилить под себя, но общий смысл понятен

Вы хотите содержимое alert добавить в блок на странице?
Если блок уже создан, допустим, то чистом js:

<div id="div-name"></div>
<script>
var myDiv= document.getElementById('div-name'), 
json = '<?php echo $s;?>',
data = JSON.parse( json );

myDiv.innerHTML = data.icestats.source.title;
</script>

На jquery:
$('#div-name').html(data.icestats.source.title);