Если говорить о веб-тестировании, то могу посоветовать следующее:
- Изучать SQL (MySQL, PostgreSQL, MSSQL) (не особо важно)
- Изучать, как работает связка технологий. Как пример: PHP, Websocket, RabbitMQ, Mysql
- Установить любой скрипт и понять, как он работает на низком уровне и более высоких, провести исследовательское тестирование. Из сложного vBulletin, Xenforo, IP.Board, Datalife Engine, что попроще, то в гугл
- Изучать работу через API: xml, json
- Автоматизировать. Не важно, что, не важно, как, но автоматизировать. Это может быть генерация каких-то данных, это может быть работа с API какого-то сервиса и т.д.
Если говорить о тестировании не Web, то по аналогии. Я лично предпочитаю тестировать Web, для меня это интереснее.
Когда я переходил с Desktop на Web, то сам написал Web-приложение на Python, одной из функций которого была отправка разных типов писем, а потом сам его протестировал. Затем стал изучать работу с API с помощью curl и библиотеки requests в Python. Ну и так последовательно стал получать опыт тестирования.
Кстати, в соседней ветке указан курс от mail.ru, мне он тоже понравился:
Что нужно знать начинающему тестировщику? 
