AlionaKholod

Для проверки правильности заполнения полей в форме используйте атрибут pattern.
Для отправки формы без перезагрузки страницы jQuery не обязателен, достаточно чистого JavaScript.

Разместите код ниже на странице с формой:

<script type="text/javascript">

  // По готовности страницы, вешаем на форму обрабочтик onsubmit инлайново:
  document.addEventListener('DOMContentLoaded', function() {
    document.querySelector('form#FORM_ID').setAttribute('onsubmit', 'event.preventDefault(); form_send(this);');
  });

  // Функция для отправки формы на чистом JavaScript:
  function form_send(form) {
    var url = form.getAttribute('action') + '?time=' + new Date().getTime();
    var xhr = new XMLHttpRequest(); xhr.open('POST', url);
    xhr.onreadystatechange = function() {
      if (xhr.readyState === XMLHttpRequest.DONE) {
        if (xhr.status === 200) {
          form.setAttribute('onsubmit', 'event.preventDefault();');
          form.innerHTML = xhr.responseText;
        }
        else {
          alert('При отправке формы произошла ошибка, детали смотрите в консоли.');
          console.log('При отправке формы произошла ошибка, ниже объект с деталями ошибки:');
          console.dir(xhr);
        }
      }
    }
    xhr.send(new FormData(form));
  }
  
</script>

Только замените FORM_ID на id своей формы! В вашем случае это вроде как order__form. Также обратите внимание, что у вашей формы form должен быть правильно прописан action, если action не указан, то работать НЕ будет.