Alexandroppolus

заведи массив или хэштаблицу - кто сколько раз дежурил, изначально у всех нули.
на каждый очередной день выбирай N челиков, у которых меньше всего дежурств.
если там здоровенное количество сотрудников, то для быстрого поиска самых малодежурных поможет приоритетная очередь, например на основе бинарной кучи.

заодно не придется возиться с размещениями, вариант получается более простой.

если места различны, то 72! / (72 - 6)!
(первое место - один из 72 символов, второе - один из 71, и т.д., итого 72 * 71 * 70 * 69 * 68 * 67)

если не различимы, то 72! / ((72 - 6)! * 6!)
(делим на кол-во перестановок)

Рандомно перемешать каждый из массивов - https://qna.habr.com/q/1118198
после чего брать комбинации: (a[0], b[0], ..., f[0]), (a[1], b[1], ..., f[1]), ...
где a, b.. - слои

если, допустим, надо N тайлов, а в слое всего M вариантов, где M < N, то из этого слоя (перемешанного) можно брать' элемент с индексом (i % M)

половина из всех, то есть 2^9 = 512

выбираем нуль, все числа с 2 единицами, все с 4 единицами и т.д., вплоть до 1111111111. Легко посчитать, что их количество равно 2^9
1 + C(10, 2) + C(10, 4) + C(10, 6) + C(10, 8) + 1 = 512

Почему нельзя больше? При каждом выборе одного слова вычеркиваем 10 соседних (отличающихся от выбранного одним битом). По такому алгоритму каждое слово можно вычеркнуть не более 10 раз. Если выберем более 512, то будет более 5120 отдельных вычерков, а вычеркнутых слов менее 512 (всего 1024), то есть кого-то вычеркнули более 10 раз, противоречие.