Внедряйте content-скрипт в эту страницу там ждите DOMContentLOaded, и оттуда через runtime.sendMessage посылайте месседж с данными которые надо со страницы получить. Профит.
Внедряете content-скрипт на страницу, который в DOM вставляет кнопку. По нажатию кнопки через runtime.sendMessage шлете сообщение в bacground расширения и оно уже делает действие и возвращается ответ.