Пример:
https://gist.github.com/AlexeyRudkovskiy/9fb4fcfd3...
В начале каждого файла в комментарии указан путь где он находится.

Далее пишете так:

$product = App\Product::find(1); // Поулчаем запись с id = 1
foreach ($product->categories as $category) {
    // Делаете что хотите с категориями этого товара
}

Тоже самое можно сделать и с категориями:

$category = App\Category::find(1); // Поулчаем запись с id = 1
foreach ($category->products as $product) {
    // Продукты в категории
}

Добавляем запись в категорию:

$product = ...;
$category = App\Category::find(1); // Для примера будем использовать категорию с id = 1
$category->products()->attach($product->id);

Или добавляем несколько записей за раз:

$category = App\Category::find(1); // Для примера будем использовать категорию с id = 1
$category->products()->attach([1, 2, 3]); // Добавляем товары с id = 1, 2, 3 в категорию с id = 1

Удаляем продукты из категории:

$category = App\Category::find(1); // Для примера будем использовать категорию с id = 1
$category->products()->detach(1); // Удаляем продукт с id = 1 из категории с id = 1. Так же можно передать массив для удаления сразу нескольких продуктов из категории

Всё описанное выше работает в обе стороны, т.е. можно таким же образом продукту добавлять и удалять категории(аналогично каждому из примеру, см. первый и второй пример)

Ссылки такого вида это URI-схемы. Система переадресовывает такие ссылки приложениям, которые "отслеживают" их по определённому формату (в вашем случае ru.avito). Ещё можете такое встретить с почтой (mailto://) или ftp (ftp://). Что бы перейти по такой ссылки нужно иметь нужное приложение

Ajax

Подозреваю что проблема в этой строке:

$JSON = file_get_contents("https://api.vk.com/method/users.get?" . http_build_query($params)) . "<br>";

Тут не надо дописывать . "<br>" т.к. после этого к вашему json'у допишется <br> и он не сможет быть обработан функцией json_decode

Если вы не хотите сохранять текст ни в БД, ни в куки, ни в файлах, тогда никак не сможете получить текст. Вам нужно его где-то хранить.
Что бы не использовать сервер, можно обойтись кукисами или же LocalStorage