Алексей Рясский

У вас команда неправильная, похоже.
>> -map 0:v:1
отображает аудиотрек входного файла во второй трек выходного. Нужно -map 1:v:0
и еще у вас тут странное:
>> -g 5 -force_key_frames "expr:gte(t, n_forced * 5)"
-g 5 говорит вставлять ключевые кадры каждый пятый кадр, -force_key_frames "expr:gte(t, n_forced * 5)" - говорит вставлять ключевые кадры каждые 5 секунд. Т.к. у вас не указан FPS, на выходе это может привести к появлению сегментов рандомной длины. Кстати, и длина сегмента у вас не указана (-segment_time).

-reconnect
Reconnect automatically when disconnected before EOF is hit.

-reconnect_at_eof
If set then eof is treated like an error and causes reconnection, this is useful for live / endless streams.

-reconnect_on_network_error
Reconnect automatically in case of TCP/TLS errors during connect.

-reconnect_on_http_error
A comma separated list of HTTP status codes to reconnect on. The list can include specific status codes (e.g. ’503’) or the strings ’4xx’ / ’5xx’.

-reconnect_streamed
If set then even streamed/non seekable streams will be reconnected on errors.

-reconnect_delay_max
Set the maximum delay in seconds after which to give up reconnecting.

-reconnect_max_retries
Set the maximum number of times to retry a connection. Default unset.

-reconnect_delay_total_max
Set the maximum total delay in seconds after which to give up reconnect

https://ffmpeg.org/ffmpeg-protocols.html

Подозреваю, что в первом видео нет аудиодорожки, поэтому в результирующем видео тоже нет (проверьте через ffprobe) . В таком случае надо добавить пустую аудиодорожку в первое видео.

ffmpeg -f lavfi -i anullsrc=channel_layout=stereo:sample_rate=<рейт второго видео> -i logo.mp4 -shortest -c:v copy -c:a <Кодек второго видео> new_logo.mp4

По поводу фпс задайте его явно : -c:v h264 -r 25.

Попробуйте перед -i добавить
-timeout 10000000 -reconnect 1 -reconnect_at_eof 1 -reconnect_streamed 1 -reconnect_delay_max 2

Чтобы сохранялись промежуточные закачки, предлагаю сохранять выкачанное фрагментами по 2-10сек (зависит от длины сегмента стрима). Потом сделаете 1 конкат для файлов и получите большой фильм. Фильтр -f segment в помощь.