Да, урок один и тоже - как по мне не плохой, но устаревший....
У меня так же как и у вас возникла ошибка с ownerId, почему-то getters.user.id добавлял в конструктор id пользователя в первый раз, а потом не хотел это делать и выдавал undefined.
Решил таким образом:
вместо getters.user.id в файле ads.js ( createAd ) я вставил fb.auth().currentUser.uid, id пользователя у меня теперь добавляется нормально....

Добрый день
А если при регистрации добавлять емейл и пароль как у вас,

await firebase.auth().createUserWithEmailAndPassword(email, password)

затем определять uid
и по нему добавлять все нужные поля уже в database()

await firebase.database().ref(`/users/${uid}/userInfo`).set({
                  name, department, email
              });

У меня так полный вариант выглядит в vuex

actions: {
async registrations({commit, dispatch}, {name, department, email, password}){
          try{
              await firebase.auth().createUserWithEmailAndPassword(email, password)
              const uid = await dispatch('userId');  
              await firebase.database().ref(`/users/${uid}/info`).set({
                  name, department, email
              });
          }catch(e){
              throw e
          }
        },
       userId(){
          const user = firebase.auth().currentUser
          return user ? user.uid : null
        }
}