На самом деле твой вопрос: "Как подсветить ошибки типов typescript внутри шаблонов vue в webstorm".
Ответ: никак.
Они завязали всё на стороннюю тулзу и плагин к vscode, а не на языковой сервис typescript, потому любые ide кроме vscode в пролёте. Это очень расстраивает, да.
У меня есть личные намётки на эту тему, но оно движется медленно и постоянно откладывается, т.к. есть задачи по-актуальней, так что в ближайшее время можно не ждать.)
P.S. Могу пока порекомендовать плагин
awesome console - он сделает кликабеьными все ссылки в консоли, включая переход к конкретной строчке.