Лучше переделайте на такой вариант:
static QSqlDatabase* getPDB()
{
static QSqlDatabase *pdb = NULL;
if(pdb == NULL) {
pdb = connect();
}
return pdb;
}
Ну, соответственно, connect должно создавать это самое соединение и возвращать тот самый указатель.
И никаких глобальных членов класса...