Как при уменьшении блока менять кнопку на другую HTML?

создаешь две, мелкую кнопку display: none;
а дальше медиа запросом большую display: none; , а мелкую display: block;

Как вывести часть контента с одной страницы на другую?

я еще зеленый в этом, если не сложно скинь ресурс

Какой файл отвечает за страницу на которой отображены все рубрики?

можно пример цикла, а то что то не получается?
и еще как фильтровать вывод категорий (например, не выводить "без категории")

Как обработать HTML теги?

roman_tonkoshkurov, можешь пример сообщения в идеальном виде, которое нужно чтоб было ?