Сделал, как вы указали (Clear Data), обновил страницу - действительно, остался залогинен.
Зашёл в настройки Chrome, посмотрел Cookies и данные для сайта - в "Локальном хранилище" остались сохранённые данные, удалил их - разлогинило.
Залогинился снова, нажал Clear Data - теперь уже разлогинило сразу.
Вероятно, VK хранит что-то на диске, причём эти данные не удаляются средствами разработчика.
