Просто сделайте два элемента.
Обратите внимание, что у кнопки есть классы "closed" и "opened", от которых зависит внешний вид кнопки. Следовательно, элементы делим по этому классу.
// Бургер
<a href="#" class="menu-icon js-menu_toggle closed">
......
</a>
// Крестик
<a href="#" class="menu-icon js-menu_toggle opened">
......
</a>
В js в функциях, обрабатывающих клики по кнопкам, удалите "
$(this).removeClass('...').addClass('...');".
Элемент крестика уже на месте, а вот бургер нужно вынести за пределы элемента "side_menu".