инициализировать каждый слайдер отдельно. если слайдеров может быть неизвестное количество, то циклом, вот кусок кода из проекта
www.profihouse.com.ua Это блок с отзывами, в каждом отзыве слайдер с тамбами
// Слайдер внутри отзывов
$('.review-slide').each(function(index){
$(this).addClass('review-slide-' + index);
var indexClass = '.review-slide-' + index;
$(indexClass + ' .review-inner-slider').slick({
slidesToShow: 1,
slidesToScroll: 1,
arrows: true,
asNavFor: indexClass + ' .review-inner-slider-thumb',
});
$(indexClass + ' .review-inner-slider-thumb').slick({
arrows: false,
slidesToShow: 3,
slidesToScroll: 1,
asNavFor: indexClass + ' .review-inner-slider',
dots: false,
focusOnSelect: true,
});
});