Если отвечать ровно на то, что было спрошено:
// создаём новый массив
const newArr = arr.map(({ name, ...n }) => (n.user_name = name, n));
// изменяем существующий:
arr.forEach(n => (n.user_name = n.name, delete n.name));
Но вообще, можно и в более общем виде задачу решить:
// keys - объект вида { старый_ключ_1: 'новый_ключ_1', старый_ключ_2: 'новый_ключ_2', ... }
const renameKeys = (obj, keys) =>
Object.fromEntries(Object
.entries(obj)
.map(([ k, v ]) => [ keys.hasOwnProperty(k) ? keys[k] : k, v ])
);
const newArr = arr.map(n => renameKeys(n, { name: 'user_name' }));
function renameKeys(obj, keys) {
for (const n of Object.entries(keys)) {
if (obj.hasOwnProperty(n[0])) {
obj[n[1]] = obj[n[0]];
delete obj[n[0]];
}
}
}
arr.forEach(n => renameKeys(n, { name: 'user_name' }));