Изображение, после отправки POST запросом на сервере можно найти в глобальном массиве $_FILES, сам файл физически помещается во временную папку на сервере, в $_FILES будет ссылка на этот файл, и если с ним ничего не сделать, то потом он автоматически удалиться. По этому нужно взять этот файл, проверить его тип, если нужно, изменить размер и переместить в постоянное хранилище, в базе данных пользователей прописать путь к файлу как аватарку конкретного пользователя. Это если в общем случае, когда не используется фреймворк, где скорее всего уже есть стандартные методы работы с файлами.
Подробнее про работу с файлами можно почитать
тут.
