Так как Вы спрашиваете в контексте Vue, то ответ будет таким:
привязываете селект к v-model, каждому option свой value.
Вставляете три формы, каждой пишите v-show="v-model_селекта === нужное-значение"
профит
qwentry, Да, есть немного. У вас в selected попадает строка со значением выбранного option.
А вы делаете сравнение со свойством. v-show="selected === form1" переделать на v-show="selected === 'form1'"