1. Лучше использовать ID, если есть возможность, а не атрибут;
2. Зачем привязали к переменной? Вы ради этой отвязки и используете Jquery;
3.
.html()
полностью заменяет содержимое блока,
.append()
- добавляет новое.
$('#ID').click(function(){
$('#ID').append('<li></li>');
});