Для начала, в форму необходимо добавить поля для редактирования в форму и заполнить их атрибут defaultValue через JS:
<form class="form" id="form">
<button class="profile__buttonClose"></button>
<label>
Имя
<input type="text" name="firstname"/>
</label>
<label>
Описание
<input type="text" name="description"/>
</label>
<button class="form__sumbit-button" type="submit">
<h3 class="form__save">Сохранить</h3>
</button>
</form>
document.querySelector('input[name="firstname"]').defaultValue = 'Старое значение поля Firstname'
document.querySelector('input[name="description"]').defaultValue = 'Старое значение поля Description'
Далее, необходимо сделать нужный запрос. Если перезагрузка сайта нужна, тогда просто указываем адресс в атрибутах
<form action="..." method="..." ... >. Но если нужен асинхронный запрос, тогда делаем его через JS (в таком случае это называют AJAX), для этого можно найти сотни-тысяч примеров на codepen
document.querySelector('form').addEventListener('submit', (e) => {
e.preventDefault();
const firstname = document.querySelector('input[name="firstname"]').value;
const description= document.querySelector('input[name="description"]').value;
fetch('....', { body: JSON.stringify({ firstname, description}) }) // как-то так примерно, тут от ситуации
});
