Когда поставили form.style.display = "flex", то его свойство none пропало и он отобразился. Это свойство нужно устанавливать конкретно перед отображением окна.
const openButton = document.querySelector(".profile__Info-button");
const closeButton = document.querySelector(".profile__buttonClose");
openButton.addEventListener("click", showForm);
closeButton.addEventListener("click", closeForm);
function showForm () {
document.getElementById("form").style.display = "flex";
}
function closeForm(e) {
document.getElementById("form").style.display = "none";
}