Сохранить в этот же local storage дату установки значения и на клиенте просто проверять текущую дату с той, что в значении и удалять. Либо взять и положить в local storage объект с 2мя полями и не плодить лишние поля в local storage
JSON.stringify({
value: 'value',
date: 'date'
})
Я бы лучше куки заюзал. Там без проблем можно указать время её жизни и вообще не нужно ни о чём думать. Сказал серверу поставить куку с истечением через 2 часа и всё. Клиент её съел, а браузер сам удалит, когда придёт время.