Все, я разобрался. Оказалось, что для передачи сообщения в content-скрипт нужно использовать другой метод:
chrome.tabs.query({}, function(tabs) {
    for (var i=0; i<tabs.length; i++) {
        chrome.tabs.sendMessage(tabs[i].id, "наше сообщение");
    }
});
Прием сообщения через 
chrome.extension.onMessage.addListener() корректно работает.