На самом деле, без кода сложно что-то сказать, но судя по этим строкам:
либо мышкой нажать на другой участок сайта, тогда идет поиск
Видимо поиск у вас срабатывает по событию 'blur' для вашего инпута.
Здесь есть пример.
Все что вам нужно — после выбора значения в поле найти ваш input и от него вызвать метод `blur`.
Это быстрое решение и в архитектурном плане, конечно, лучше так не делать, т.к. это получится довольно не очевидно. Лучшим вариантом было бы удалить вызов поиска на enter и blur и сделать поиск на выбор в автокомплите.