В моем представлении надо:
1) продумать, какие сущности нужны - пациент, доктор, прием (если это поликлиника, к примеру), создать ER-диаграмму
2) продумать ограничения - доктор принимает в опреленные часы, доктор принимает только одного пациента за раз, пациент может быть только у одного врача, прием может длится только N минут и т.д.
3) сделать на фронтенде страницу, где пациент сможет выбирать запись в календаре, но при этом календарь сгенерирован с бекенда с всеми ограничениями из пункта 2. Готовые компоненты для календарей на js существуют, на jquery вроде есть