chrome.downloads.search({state:'complete'}, function(res) {
for(let i= 0; i < res.length; i++) {
//res[i].finalUrl - ссылка на файл
//res[i].filename - путь сохраненного файла в ОС
//.... что-то куда-то пишем .... например в переменную.
}
//Куда-то выгружаем, например в буфер обмена.
});