Пользоваться php://stdout в подавляющем большинстве случаев абсолютно бессмысленно - куда проще тупо написать echo
Я могу придумать только один случай, когда у нас есть унифицированная функция вывода, которая пишет либо в файл, либо в стдаут в зависимости от настроек. Это явно не ваш случай.
Логи искать там, где вы их положили. За редким исключением, имя лог файла надо указывать явно. Если это консольный скрипт, то использовать эхо, а вывод перенаправлять в файл PHP test.php > log.txt
Это будет перенаправление стдаута в файл.
Если скрипт вызывается по НТТР то никакого стдаута, пишем в обычный файл как обычно
