Корневой элемент может быть только один - так что v-for там использовать нельзя. Форма внутри элемента с v-for - зачем вам несколько форм? Вручную создали разметку для элементов формы - хотя вот она-то должна генерироваться с помощью v-for на основе массива с данными.
new Vue, все таки, вы ж экземпляр класса создаете, + нельзя корневой элемент в цикл оборачивать, + вы на каждой итерации цикла новую форму генерите, весь шаблон неправильно написан