Вообщем, в случае если все ответы правильные выводить сообщение об успешном завершении теста, и сохранить все ответы в куки.
В случае неудачи повторно вывести форму, в том виде как ее заполнил пользователь.
$html = <<<EOD
<!DOCTYPE HTML>
<html>
<head>
<title>Задание 5</title>
<meta charset="utf-8" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1, user-scalable=no" />
<meta name="description" content="" />
<meta name="keywords" content="" />
</head>
<body>
<form action="result.php" method="POST">
<li><b>Сколько будет 10 + 9?</b><br/>
<input type="checkbox" name="q11" value="a">21<br />
<input type="checkbox" name="q12" value="b">17<br />
<input type="checkbox" name="q13" value="c">19<br />
<input type="checkbox" name="q14" value="d">20<br />
<INPUT onclick="check_me1()" name='but' type="button" id="Add1" value="Ответить"/>
<br><br>
<div id="div1"></div>
<br><br><br>
<br/></li><li><b> Какие из этих марок машин Немецкие?(2 из 4 ответов могут быть правильными)</b><br/><br>
<input type="checkbox" name="q212" value="a">BMW
<br> <input type="checkbox" name="q222" value="b">LADA
<br> <input type="checkbox" name="q232" value="c">RENO
<br> <input type="checkbox" name="q242" value="d">AUDI <br><br>
<INPUT onclick="check_me2()" type="button" id="Add2" value="Ответить"/>
<br><br>
<div id="div2"></div>
<br><br><br>
<br/></li><li><b>Квадрат числа 3?</b><br/> <input type="text" name="q3" value="" maxlength="2" size="2"><br><br>
<INPUT onclick="check_me3()" type="button" id="Add3" value="Ответить"/> <br/><br><br>
<br><br>
<div id="div3"></div>
<br><br><input type="submit" name="action" value="Результат"></form>
</form>
</body>
</html>
EOD;
echo $html;
?>
