Код рабочий (на локальной машине).
Включите отображение ошибок в обработчике:
ini_set('display_errors', 1);
error_reporting(E_ALL);
Сделайте проверку или var_dump() входящий переменных.
Если обработчик у вас в том же файле что и форма добавте проверку на тип запроса:
if ($_SERVER['REQUEST_METHOD'] == 'POST') {
$userName = $_POST['userName'];
$userPassword = $_POST['userPassword'];
$file = fopen("file.txt","a");
fwrite($file,"\n $userName:$userPassword \n");
fclose($file);
}
P.S. ~ Див не закрыт после кнопки.