форма action которая ведет на файл php
1) Если вы уберете "файл php" из экшна, фрома будет субмититься на текущий урл, что как раз будет давать вам перезагрузку. Естественно код отправки данных на емэйл тоже надо будет расположить в текущем скрипте.
2) Отправляйте данные аяксом через яваскрипт, после чего перегружайте страницу из яваскрипта.
В первом варианте есть нюанс - обновление страницы после субмита методом пост вызывает не совсем юзерфрендли поведение, предлагая снова отправить данные. Обычно после такой загрузки формы делают редирект на нужную страницу методом гет, это решает проблему.