Раз уж у вас предполагается возможность одновременного поиска по различным странам/регионам - как-то странно пытаться использовать одно и то же свойство для всех полей поиска. Сами подумайте - свойство одно, стран двадцать (например). Как вы собираетесь хранить двадцать значений в одной строковой переменной?
Сделайте строки поиска свойствами объектов, внутри которых выполняете поиск. Т.е., замените
v-model="searchRegion"
на
v-model="country.searchRegion"
Аналогично и с городами внутри регионов.
Или можно сделать searchRegion и searchCity объектами, где ключами будут id стран/регионов, в которых осуществляется поиск. Как-то
так.
