Есть несколько вариантов.
Простой - воспользоваться методом
ListBox.ScrollIntoView - он позволяет подкрутить ListBox к определенному элементу.
Если нужна более точная подкрутка - нужно получить у ListBox`а его
ScrollViewer, и работать с ним. Например, воспользоваться методом
ScrollToBottom
Для получения ScrollViewer`а можно воспользоваться методом GetFirstDescendantOfType
var scrollViewer = myListBox.GetFirstDescendantOfType<ScrollViewer>();