1. Берем, выводим значение в консоль и смотрим:
var textarea = document.querySelector('.textarea-field textarea');
console.log('tag name', textarea.tagName); // TEXTAREA
console.log('tag name to lowercase', textarea.tagName.toLowerCase()); // textarea
Думаю, дополнительные комментарии излишни.
Строка используется как ключ для проверки наличия и сохранения сохраненного состояния в sessionStorage.
2.
Window.sessionStorage. Читаем первый же абзац и находим ответ на свой вопрос.
3. Чтобы показывать кнопки prev и next при загрузке страницы если есть сохраненные данные и после изменения значения textarea.
4. В 35 строке ошибка. Должно быть:
var arrValue = JSON.parse(sessionStorage[key]);
Насчет остального, надо смотреть требования по заданию, если они есть.