Но проблема в том, что svg картинка появляется сначала полностью готовой, а потом уже через секунду начинает проигрываться анимация
ну так вы же сами выставили на все пути изначально
stroke-dashoffset="0"
Т.е. вы показываете сначала все это дело без промежутков, и через 1 сек начинаете анимировать из 540 до 0 к примеру.
Установите изначально свои максимальные значения stroke-dashoffset и все заработает.
Единственное, в таком виде как сейчас, анимация завершится возвращением к тем же значениям. Для того чтобы оставить после анимации линии прорисованными, добавьте/измените значение fill (в animate) с remove, на freeze, к примеру
dur="5s"
begin="1s"
fill="freeze"